项目来源

韩国国家研究基金(NRF)

项目主持人

천상민

项目受资助机构

중앙대학교

立项年度

2021

立项时间

未公开

项目编号

2021R1F1A1052225

项目级别

国家级

研究期限

未知 / 未知

受资助金额

52389000.00韩元

学科

자연과학

学科代码

未公开

基金类别

이공분야기초연구사업-기본연구-기본연구

关键词

유일인수분해정역 ; 인수분해 ; inert extension ring ; unique factorization domain ; factorization ; half factorial domain ; bounded factorization domain

参与者

未公开

参与机构

未公开

项目标书摘要：연구목표:본 연구의 목표는 먼저 commutative ring의 extension이 다양한 형태의 inert extension을 만족할 때,factorization특성들을 연구하고,monoid와 module의 factorization특성들에 관한 연구로 확장하는 것이다.Extension ring의 factorization특성들의 전이성에 관해선 많은 연구가 진행되어 왔다.잘 알려진 사실로 UFD(unique factorization domain)의 localization은 UFD이다.하지만 atomic domain의 localization은 특별한 경우에 atomic domain이 된다.ACCP(ascending chain condition on principal ideals),HFD(half factorial domain),BFD(bounded factorization domain),idf-domain(irreducible divisor finite domain),FFD(finite factorization domain)에 대해서도 특별한 경우에 전이된다.inert extension은 와 의 irreducible element와 밀접한 관련이 있다.최근 본 연구자는 inert extension에 다양한 형태가 존재하는 것을 발견하였고,이것을 이용하여 polynomial ring을 포함한 많은 extension ring이 다양한 inert extension을 만족함을 알게 되었다.먼저 integral domain에서 localization을 포함한 다양한 inert extension을 만족할 때,factorization특성의 전이성을 연구하겠다.이어서,zerodivisor를 포함하는 commutative ring의 extension ring의 factorization 특성의 전이성을 밝히겠다.그리고,zerodivisor를 포함하는 commutative ring의 regular element(nonzerodivisor)에 관한 factorization 특성의 전이성을 연구하겠다.splitting muliplicatively closed set 에 대하여,다양한 inert extension을 만족하는 의 factorization특성들의 전이성에 관하여 연구하겠다.
        연구내용:integral domain의 unit이 아닌 모든 원소들이 irreducible들의 곱으로 표현될 때 atomic domain이라고 부른다.UFD와 Noetherian domain은 atomic이다.특별히 principal ideal들의 집합이 ascending chain condition(ACCP)을 만족하면 atomic domain이다.유리수 Q,실수 R 에 대하여,Q[X],Q+XR[X],R[X]의 factorization 특성들을 살펴보면 polynomial ring 와 는 UFD이며 ACCP를 만족한다.한편,Q+XR[X]는 atomic이지만 UFD가 아니며,ACCP를 만족하지 않는다.일반적으로 atomic domain이나 ACCP를 만족하는 domain의 localization이 atomic이나 ACCP를 만족하지 않는다.심지어 atomic domain 의 polynomial ring 도 atomic을 만족하지 않는다.한편“integral domain D가 ACCP를 만족한다”와“D[X]가 ACCP를 만족한다”는 동치이다.아울러“integral domain D가 ACCP를 만족한다”와 power series“D[[X]]가 ACCP를 만족한다”는 동치이다.일반적으로“group ring R[X;G]가 ACCP를 만족한다”와“R 은 ACCP를 만족하고 torsionfree abelian group G의 원소의 형태가(0,0,0,...)이다”는 동치이다.하지만 monoid domain R[X;S]이 언제 atomic 또는 ACCP를 만족하는지는 open problem이다.모든 원소의 factorization의 길이가 유한한 integral domain D(bounded factorization domain:BFD)에 대하여 polynomial ring 과 powerseries ring 도 같은 성질을 갖는다.하지만 monoid domain 이 언제 BFD인지는 open problem이다.UFD와 유사한 성질을 가진 Half factorial domain(HFD)에 대해서,UFD와 다른 다음 성질을 갖는다.field K1,K2에 대해서,K1[X]과 K1[[X]]은 HFD이며,K1+XK2[X]과 K1+XK2[[X]]도 HFD이다.하지만,HFD 에 대하여 polynomial ring 이 언제 HFD인지는 open problem이다.irreducible divisor가 항상 유한한 irreducible divisor finite domain(idf-domain)에 대해서,“idf-domain 의 polynomial ring 이 idf-domain을 만족하는가?”는 open problem이다.finite factorization domain(FFD)에 대해,polynomial ring 는 FFD이지만,localization에서는 일반적으로 FFD가 아니다.아울러,다양한 형태의 inert extension을 만족하는 경우 factorization 특성의 전이성을 이용하여,D,D[X],D,D(X)의 관계를 규명하겠다.
        기대효과:commutative ring R 과 extension ring S가 다양한 inert extension을 만족하는 경우 R과 S사이의 factorization 특성의 전이 관계의 규명은 polynomial ring(R 과 R[X]),powerseries ring(R 과 R[[X]]),Laurent polynomial ring(R 과 R[X,1/X]),특히 R과 R(X)사이의 factorization 특성의 연구에 도움을 준다.
        가.module에서 multiplicative closed set:본 연구는 prime submodule의 특성 및 prime radical submodule와 밀접한 관련이 있다.따라서,아직 명확히 규명되지 않은 prime radical의 특성 연구 및T(M)의 특성연구,특히 미해결 문제인“T(M)에 포함되어 있는 maximal submodule은 prime submodule 인가?”연구에 도움을 줄 것이다.
        나.module에서 factorization의 연구
        commutative ring에서 factorization property와 관련되어 연구된 다양한 특성들의 연구는 module로 일반화를 기대할 수 있다.예를 들어 Unique Factorization Ring,Finite Factorization Ring,Half Factorizal Ring,Bounded Factorization Ring,Irreducible Divisor Finite Ring,CK Ring,Weak CK Ring을 module로 일반화 하여 module의 구조적 특성 연구를 할 수 있다.
        다.fidel(A)-ring의 연구
        commutative ring 의 모든 homomorphic image가 property A를 만족할 때,fidel(A)-ring이라고 하며.strong property A를 만족할 때,strong fidel(A)-ring 이라고 부른다.사실 module은 property A를 만족하는 module의 homomorphic image이다.이와 관련된 다음 미해결 문제에 도움을 줄 것이다.(a)어떤 module 이 strong property A를 만족하는 module의 homomorphic image인가?(b)언제 가 fidel(A)-ring인가?