项目来源

国家自然科学基金(NSFC)

项目主持人

张鑫

项目受资助机构

武汉理工大学

项目编号

12001409

立项年度

2020

立项时间

未公开

研究期限

未知 / 未知

项目级别

国家级

受资助金额

24.00万元

学科

数学物理科学-代数与几何-整体微分几何

学科代码

A-A01-A0108

基金类别

青年科学基金项目

关键词

阿蒂亚—辛格指标理论 ; 正则作用 ; 椭圆边值问题 ; 非紧流形 ; 循环上同调 ;

参与者

未公开

参与机构

未公开

项目标书摘要：iyah-Singer指标定理一经问世，其相关推广工作就受到广泛关注。含群作用的非紧流形上指标理论的推广与应用是几何学中的一个重要课题。针对具有李群正则余紧作用的非紧带边流形，本项目拟从以下几个方面研究其上满足Lopatinski-Schapiro边值条件的等变Dirac算子的指标理论与Hopf循环上同调理论之间的关系：一、给出其上满足Lopatinski-Schapiro边值条件的等变Dirac算子不变指标的定义；二、将Hodge-Morrey-Friedrichs分解推广到非紧带边流形情形，从而建立其上Hopf循环上同调理论与满足Lopatinski-Schapiro边值条件的等变Dirac算子指标理论之间的联系；三、通过研究不同边值条件下等变Dirac算子不变指标之间的关系，得出非紧带边流形上两种不同Hopf循环上同调群之间的联系.

Application Abstract: Since the Atiyah-Singer index theory was established,enormous efforts have been taken to generalize it.Index theory on non-compact manifolds with group actions has become an important topic in geometry.This project mainly focuses on the non-compact manifolds with boundary,admitting proper cocompact group actions,and deals with the following problems:1Introduce an invariant index for G-equivariant Dirac operators under some Lopatinski-Schapiro boundary conditions.2Generalize the Hodge-Morrey-Friedrichs decomposition and study the relationships between Hopf cyclic cohomology and index theory.3Investigate the relationships of indexes under different boundary conditions and discover the relationships of the two Hopf cyclic cohomology for non-compact manifolds with boundary.

项目受资助省

湖北省

项目结题报告(全文)

Atiyah-Singer指标定理一经问世，其相关推广工作就受到广泛关注。含群作用的非紧流形上指标理论的推广与应用是几何学中的一个重要课题。本项目中我们针对一系列相关问题进行了研究。。对于具有李群正则余紧作用的非紧带边流形，我们通过引入一类在边界附近表现比较好的特殊的截断函数，给出了其上不变微分形式上的一个推广的Hodge理论，证明了每一个群作用下不变的de Rham上同调类都可以唯一地表示成一个推广的Neumann field,而每一个群作用下不变的相对de Rham上同调类则可以唯一地表示成一个推广的Dirichlet field;利用上述推广的Hodge理论，我们给出了流形上的Hopf循环上同调理论与满足一定边值条件的等变Dirac算子的指标理论之间的关系，得出了不变微分形式上的欧拉示性数和相对欧拉示性数之间的关系；特别地，当作用群是连通且non-unimodular时，我们证明了不变微分形式上的欧拉示性数和相对欧拉示性数均为0..对于具有李群正则余紧作用的非紧spin流形，我们给出了其上等变椭圆微分算子的Mathai-Zhang指标的一个消没定理。具体来说，在作用群的含单位元的连通分支是non-unimodular的情况下，通过在流形上构造一个特殊的切向量场，证明了流形上的等变Dirac算子的Mathai-Zhang指标等于0.不同于Lichnerowicz型消没定理，这里不需要正数量曲率这一条件.