项目标书摘要：연구내용본 연구의 목표는 대수기하학에서 대수적 다양체들의 모듈라이 공간과 쉬프들의 모듈라이 공간의 기하학적 성질을 탐구하는 것이다.특히 교차 이론의 관점에서 이 두 주제에 대해 기여하고자 한다.첫째,Calabi-Yau 다양체상의 쉬프들의 모듈라이 공간상의 교차수로 정의되는 Donaldson-Thomas 불변량에 관한 연구한다.둘째,비가환 국지화 기술을 가상 교차 이론의 상황으로 확장하여 이를 통해 곡선상의 벡터번들의 모듈라이 공간과,곡면상의 쉬프들의 모듈라이 공간의 교차수를 구하는 새로운 접근법을 개발한다.셋째,헤센버그 다양체와 루스틱 다양체의 쌍유리 기하학을 분석하여 코호몰로지를 구하고 이를 통해 난제를 공략한다.(i)4차원 Calabi-Yau 다양체의 Donaldson-Thomas(DT4)불변량과 코섹션 국지화:코섹션 국지화를 4차원 도날슨-토마스 이론과 유도 대수기하학의 관점에서 분석하고 이해한다.(ii)헤센버그 다양체와 루스틱 다양체의 코호몰로지:헤센버그 다양체와 루스틱 다양체의 쌍유리 기하학을 분석하여 modular law를 얻어내고 이를 통해 Shareshian-Wachs conjecture,Stanley-Stembridge conjecture와 같은 난제들을 공략한다.(iii)비가환 가상 국지화 기술 개발:Jeffrey-Kirwan의 비가환 국지화를 가상 교차 이론의 상황으로 확장하고 이를 힐버트 스킴과 그로덴틱의 Quot 스킴에 적용하여 모듈라이 공간들의 교차수를 구해낸다.곡선의 경우 위튼의 공식을 추출해내는 것이 일차적인 목표이며 이를 달성하면 곡면의 경우로 확장하여 새로운 성과들을 얻어내고자 한다.DT4 가상근본류의 담넘기 공식을 위해 4차원 Calabi-Yau 다양체의 코호몰로지를 모두 모아두면 꼭지점 대수의 구조를 가진다는 것이 알려졌다.DT4 가상근본류와 불변량에 대한 연구는 꼭지점 대수 구조를 통해 표현론과 등각장이론(conformal field theory)과 같은 물리학에도 흥미로운 파급효과를 가질 것이다.또한 그 과정을 통해 첨단 연구주제에 대한 우수연구자로 육성하는 효과도 예상된다.
